رياضيات ثانوي
رياضيات ثالث ثانوي _القسم العلمي | الأعداد المركبة: كيف نشأت؟ وما هو تعريفها الجبري والهندسي؟
رياضيات ثالث ثانوي _القسم العلمي | الأعداد المركبة: كيف نشأت؟ وما هو تعريفها الجبري والهندسي؟
بدأ الانسان منذ القدم التعامل الحسابي مع الحياة بالأعداد الطبيعية ط = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ......}،إلى أن تم اختراع الصفر ومن ثم الاعداد الصحيحة ص = {.....، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ....}، أي انه تم توسيع مجموعة الاعداد من الطبيعية الى الصحيحة فمجموعة الاعداد الصحيحة تشمل الطبيعية وهكذا استمر توسيع مجموعة الاعداد حسب الحاجة إلى أن وصلت لمجموعة الاعداد المركبة او العقدية ، وسنناقش في هذا الدرس كيف نشأت الحاجة للأعداد المركبة وما هو تعريف الاعداد المركبة الجبري والهندسي.
أولا: الحاجة للأعداد المركبة
دعونا نحل المعادلة التالية س+1=0 نلاحظ أن حلها س=-1 هو عدد صحيح ، لكن حل هذه المعادلة 2س+1=0 هو س=1\2 ومعلوم أن النصف ليس عدداً صحيحاً ، لذلك نشأت الحاجة لتوسيع مجموعة الاعداد الصحيحة الى مجموعة الاعداد النسبية: وهي مجموعة الاعداد التي يمكن وضعها في صورة أ\ب حيث أ ، ب عددان صحيحان ، ب لا يساوي صفر، وهذه المجموعة يوجد فيها حل لأي معادلة من الدرجة الأولى.
لكن كثير من معادلات الدرجة الثانية ليس لها حل في مجموعة الاعداد النسبية فمثلاً المعادلة:
ليس لها حل في مجموعة الاعداد النسبية، لذلك تم توسيع مجموعة الاعداد الى مجموعة الاعداد الحقيقية والتي تتكون من مجموعة الاعداد النسبية وغير النسبية، والاعداد غير النسبية هي مجموعة الاعداد الحقيقية التي لا يمكن وضعها في صورة أ\ب حيث أ ، ب عددان صحيحان ، ب لا يساوي صفر، مثل الجذور الصماء:
والمعادلة السابقة يوجد لها حل في مجموعة الاعداد الحقيقية ، ولكن لايزال هناك معادلات من الدرجة الثانية ليس لها حل في مجموعة الاعداد الحقيقية ، مثل :
فلا يوجد عدد حقيقي حاصل ضربه بنفسه يساوي سالب واحد، ومن هنا نشأت الحاجة الى مجموعة اعداد أوسع من مجموعة الاعداد الحقيقية ، وهذه المجموعة هي مجموعة الاعداد المركبة والتي تتضمن العدد ت الذي يحقق ما يلي:
أي أن للمعادلة السابقة حل في مجموعة الاعداد المركبة وهو ت ، بل أنه يوجد فيها حل لأي معادلة من الدرجة الثانية.
ثانياً: تعريف العدد المركب
1-جبرياً
العدد المركب: هو زوج مرتب من الاعداد الحقيقية، أي (س ، ص) حيث س ، ص عددان حقيقيان ، ويتكون من جزأين حقيقي وتخيلي، وتعتبر مجموعة الاعداد المركبة شاملة لمجموعة الاعداد الحقيقية لأن كل عدد حقيقي س هو عدد مركب حيث يمكن وضعه على صورة زوج مرتب الجزء الحقيقي فيه هو العدد س والجزء التخيلي صفر أي أن س= (س ، 0) ويسمى عدد حقيقي صرف.
والعدد المركب الذي الجزء الحقيقي فيه يساوي صفر أي على الصورة (0 ، ص) يسمى تخيلي صرف، والعدد ت الذي تم الإشارة اليه سابقاً يساوي (0 ، 1) ويسمى الوحدة التخيلية.
2-هندسياً
يمثل العدد المركب بنقطة في المستوى الاحداثي الديكارتي ( سمي بالديكارتي نسبةً للعالم الرياضي والفيلسوف الفرنسي ريني ديكارت الذي من اهم اعماله دمج الجبر مع الهندسة) ، حيث يمثل الجزء الحقيقي على المحور الافقي س والجزء التخيلي على المحور الراسي ص ، وتكون النقطة المقابلة لهما تمثل العدد المركب.
فمثلاً في الصورة أعلاه النقطة أ تمثل العدد المركب (2 ، 3) ، والنقطة ب تمثل العدد المركب (2 ، 0) ، والنقطة ت تمثل العدد المركب (0 ، 1)، والنقطة جـ تمثل العدد المركب (-6 ، -2).
للمزيد من التوضيح شاهد الفيديو التالي:
***********************
***********************
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق